home

=**Introduktion til sandsynlighed** =

1. Der skal være en situation, hvor vi ikke kan forudsige, hvad der vil ske. 2. Udfaldene er de muligheder, vi vil tage i betragtning.

**Geometrisk Fordeling.**
Dette er en ligning til beregning af sandsynligheden i en given situation.



//p// er sandsynligheden for at få succes i hvert forsøg. //n// er nummeret på antal forsøg første gang, vi får succes.

//X:// vi har en uendelig lang række af mulige antal forsøg, og //X// må altså ikke sættes til et bestemt tal. Til gengæld kan du sætte det lig med n, som er nummeret på antal forsøg, første gang vi får succes. Altså vil: //X// = 1 à angive hændelsen at få en 6'er første gang //X// = 2 à angive hændelsen, at den første 6'er fås anden gang.

**Et eksempel kunne være:** Vi kaster med en terning og vil finde sandsynligheden for at få den første 6'er ved 5. slag.

Vi sætter altså //n// til 5, da vi skal finde sandsynligheden for at få succes første gang i 5. slag. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">På en terning er der 6 mulige udfald, som vi vil tage i betragtning, vi har muligheden for at slå 1, 2, 3, 4, 5 og 6. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">En 6'er er én ud af de 6 mulige, og sandsynligheden, //p//, for at udfaldet bliver 6 er derfor 1/6.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Tallene kan vi nu sætte ind i formlen for sandsynligheden: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Hvis formlen for sandsynlighed er svær at forstå, kan vi vise, at resultatet giver det samme med en anden metode.**

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> Når vi skal finde sandsynligheden for, at den første 6'er fås i 5. slag, vil vi starte med at se, hvad sandsynligheden er for ikke at få en 6'er i første slag. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Der er 5 muligheder for udfald, der ikke giver 6, og sandsynligheden er derfor 5/6. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Igen i 2. slag vil sandsynligheden for ikke at få en 6'er være 5/6, og det samme i 3. og 4. slag. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">I 5. slag vil vi dog ikke finde sandsynligheden for ikke at få en 6'er, men netop for at få en 6'er! Sandsynligheden er nu 1/6.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Denne metode kan være god til at lære at forstå sandsynlighed, dog er den ikke så nem at benytte i praktisk og med sværere sandsynlighedsregning.

=<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Geometrisk sum** =

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Stokastisk eksperiment:** Et eksperiment, hvor vi ikke på forhånd kan have en fornuftig formodning om resultatet.
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Hvis det samme stokastiske eksperiment gentages nogle gange, vil udfaldet variere tilfældigt fra gang til gang. Man kan skabe sig et overblik over fordelingen af udfaldene ved at beregne de ideelle frekvenser. Disse repræsenterer vores forventning om, hvad der vil ske i et meget stort antal forsøg:

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**S****tokastisk model** **for eksperimentet:**
====<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Hvis vi fx kaster en terning, vil de seks mulige udfald ideelt forekomme lige ofte. Derfor sætter sandsynligheden for alle udfaldene til 1/6, da vi forventer, de hver vil forekomme i en sjettedel af tilfældene, hvis terningen kastes »uendelig mange gange«. ====

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Da sandsynlighederne kan tolkes som frekvenser, vil vi forlange, at de opfører sig på samme måde som frekvenser. Det er vigtigt at fremhæve: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">p1 +p2+... +pn = 1.
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Enhver sandsynlighed ligger mellem 0 og 1: 0 ≤ p ≤1. 2. Summen af sandsynlighederne skal altid give 1:

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Eksempel:**
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Der er seks mulige udfald, når man kaster med en terning, og hvis man lægger alle udfaldenes sandsynligheder sammen skal det giver 1. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Teori og udregning:**
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">For at se, at dette er rigtigt, skal vi se på noget teori bag. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi kan benytte ligningen for sandsynlighed, som også ses i ”Geometrisk Fordeling”. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">eller <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Dette betyder at n starter på 1 og fortsætter til uendeligt.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">For at gøre ligningen lettere at benytte ændrer vi n til at starte med 0. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi isolerer nu p: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Herefter benytter vi ligningen for uendelige geometriske rækker, som er følgende: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">For at den er lettere at regne med, ganger vi med -1 i både nævner og tæller, og vi får: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Hvis vi sammenligner de to ligninger, ser vi, at (1-p) i sandsynlighedsligningen står på samme plads som x ligningen for uendelige geometriske rækker. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi kan derfor indsætte (1-p) på x’s plads i ligningen for uendelige geometriske rækker: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi får altså 1/p, som vi nu sætter tilbage ind i ligningen for sandsynligheden, og ganger det med det p vi før isolerede væk: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi får altså et resultat, der altid vil give 1.

=<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Geometrisk række** =

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">En geometrisk række er defineret som summen af tallene i en geometrisk følge. En geometrisk række har den egenskab, at forholdet mellem et tal i rækken og det foregående tal er ens gennem hele rækken. En geometrisk følge ser således ud: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi skal vise, at udtrykket for denne sum kan simplificeres til følgende, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi laver et eksperiment, hvor vi har en __endelig__ række af forsøg. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Denne række kalder vi i eksperimentet for //r//, og vi lader //n// være 5, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Dette udtryk kan simplificeres ved at gange med (1-r), <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Her kan man se, at alle ledende, undtagen det yderste led i hver ende, vil gå ud med hinanden, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Det hedder, at summen teleskoperer, og//r// reduceres til <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Da vi lod //n// være 5 i eksperimentet passer det til den tidligere formel, fordi ar^6 er det samme som ar^(5+1). //n//+1 angiver altså antallet af forsøg.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">En geometrisk række kan altså simplificeres ved at gange med (1-r) <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Herefter kan man sætte //a// udenfor parentes, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Og så kan man dividere med (1-r) for at få formlen for en geometrisk række, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Men hvis rækken starter fra et tal, som ikke er 0, //h//, så er formlen, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Her følger en hurtig gennemgang af en række, hvor //k// ikke er 0, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Hvis man derimod har en uendelig lang række, og den numeriske værdi af //r// er mindre end 1 ( |r|<1 ), kan man beregne den endelige sum ved formlen, som vi udledte før, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Summen i en uendelig geometrisk række, hvis rækken starter med en eksponent på 0, kan beregnes ved a/1-r. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Eller i tilfælde af at rækken starter på et tal, som ikke er 0, //h//, er formlen, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Disse formler gælder dog kun, hvis |r|<1.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Anvendelse
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Geometriske rækker kan blandt andet bruges til beregning af saldoen på en opsparing. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Som eksempel har vi en bankkonto, hvor vi hvert år indsætter 1000 kroner. På denne konto får vi 2 % i rente hvert år. Ved hjælp af den tidligere udledte formel kan vi så beregne saldoen efter et bestemt antal år. Her tager vi 5 år som eksempel. Formlen med vores informationer indsat i vil så være, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">I relation til de tidligere formler er //a// her 1000, //r// er 1.02 og //n// er 5. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Summen af den geometriske række fra 0 til 5 vil så være saldoen efter 5 år, <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Saldoen efter 5 år er 5204 kroner.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 150%;">**//Middelværdi//**

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Når man taler om middelværdi, kan det have to betydninger. Det to betydninger er gennemsnittet og forventningsværdien.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Gennemsnittet kan regnes på flere måder, men den mest anvendte er det artimetiske-gennemsnit. Her tager man summen af en række tal og dividerer med antallet af tal. Denne regnemetode skrives således: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Gennemsnittet af tallene er <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Hvor k er er antallet af forsøg og i er indført som hjælpe udtryk.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Forventningsværdien:**
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Forventningsværdien for et forsøg, der er udført uendelig mange gange kan beregnes ud fra den geometriske fordeling, på følgende måde: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi starter med ligningen for uendelige geometriske rækker: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">k er antal forsøg og r er udfaldet fra forsøget. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Vi kan i ligningen ovenfor dividere med // a //<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">, for at gøre ligningen mere overskuelig: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Differentierer vi dette får vi : <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Dette får vi, fordi den ydre funktion kan omskrives til. Ved at benytte differentiation af potensfunktioner, får vi differentieret til at blive. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Da den indre funktion er, som blot skal indsættes, vil differentieret give. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Daer en uendelig række af rk, skal hvert led i rækken differentieres. Da alle leddene er rk, kan vi nøjes med at differentiere dette på samme måde som ovenfor: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Dvs. at differentieret giver. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Dermed får vi at differentieret giver. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Nu kan vi multiplicere med r på begge sider: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> vil give <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Idet er det samme som, som ved brug af potensregnereglen vil give.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">På den anden side vil.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Nu har vi : <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Sandsynligheden for at opnå succes ved de forskellige forsøg.**
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">k er forsøgsnummeret og p er sandsynligheden for succes.


 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">k || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">1 || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">2 || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">3 ||
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">P(x=n) || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">p || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">(1-p)*p || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">(1-p)k-1*p ||

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Et eksempel kunne være et slag med en terning, hvor succes er at slå en sekser.
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">k || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">1 || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">2 || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">3 ||
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">P(x=k) || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">1/6 || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">(1-(1/6))*(1/6) = 5/36 || <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">(1-(1/6))3-1*(1/6) = 25/216 ||

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Sandsynlighed for succes ved de forskellige forsøg og middelværdi.**
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Da vi har et forsøg, der udføres uendelig mange gange, hvor sandsynligheden for at få succes i forsøgene er <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">(1-p)k-1*p og middelværdien er, kan vi beregne middelværdien af den geometriske fordeling med formlen: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">**Forventningsværdien ved en tællelig variabel:**
<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Man beregner forventningsværdien for en tællelig variabel med formlen: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Sandsynligheden for succes i udfaldet ri er pi. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Hvis vi indsætter sandsynligheden for at få succes i forsøgene, vil den geometriske række se således ud: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 120%;">Ser man på sidste del af denne geometriske række, ses det at denne del også er en del af formlen for forventningsværdien ved uendelig mange forsøg. Der er altså en sammenhæng mellem disse to.