Recent Changes

{4_plads.png}
k er antal forsøg og r er udfaldet fra forsøget.
for at gørgøre ligningen mere
{5_plads.png}
Differentierer vi dette får vi {Billede_4.png} :

Disse formler gælder dog kun, hvis |r|<1.
Anvendelse
på en opsparingopsparing.
Som eksempel har vi en bankkonto, hvor vi hvert år indsætter 1000 kroner. På denne konto får vi 2 % i rente hvert år. Ved hjælp af den tidligere udledte formel kan vi så beregne saldoen efter et bestemt antal år. Her tager vi 5 år som eksempel. Formlen med vores informationer indsat i vil så være,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.04.32.png}
I relation til de tidligere formler er a her 1000, r er 1.02 og n er 5.
Summen af den geometriske række fra 0 til 5 vil så være saldoen efter 5 år,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.04.42.png}
Saldoen efter 5 år er 5204 kroner.
Middelværdi
Når man taler om middelværdi, kan det have to betydninger. Det to betydninger er gennemsnittet og forventningsværdien.
(1-(1/6))*(1/6) = 5/36
(1-(1/6))3-1*(1/6) = 25/216
forsøg og middelværdimiddelværdi.
Da vi har et forsøg, der udføres uendelig mange gange, hvor sandsynligheden for at få succes i forsøgene er
(1-p)k-1*p og middelværdien er {q8.png} , kan vi beregne middelværdien af den geometriske fordeling med formlen:

Dette udtryk kan simplificeres ved at gange med (1-r),
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.00.45.png}
Her kan man se, at alle ledende, undtagen det yderste led i hver ende, vil gå ud med hinanden,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.01.36.png}
Det hedder, at summen teleskoperer, ogr reduceres til
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.01.50.png}
Da vi lod n være 5 i eksperimentet passer det til den tidligere formel, fordi ar^6 er det samme som ar^(5+1). n+1 angiver altså antallet af forsøg.
En geometrisk række kan altså simplificeres ved at gange med (1-r)
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.02.37.png}
Herefter kan man sætte a udenfor parentes,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.02.50.png}
Og så kan man dividere med (1-r) for at få formlen for en geometrisk række,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.02.59.png}
Men hvis rækken starter fra et tal, som ikke er 0, h, så er formlen,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.03.20.png}
Her følger en hurtig gennemgang af en række, hvor k ikke er 0,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.03.53.png}
Hvis man derimod har en uendelig lang række, og den numeriske værdi af r er mindre end 1 ( |r|<1 ), kan man beregne den endelige sum ved formlen, som vi udledte før,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.04.09.png}
Summen i en uendelig geometrisk række, hvis rækken starter med en eksponent på 0, kan beregnes ved a/1-r.
Eller i tilfælde af at rækken starter på et tal, som ikke er 0, h, er formlen,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.04.21.png}
Disse formler gælder dog kun, hvis |r|<1.
Anvendelse
Geometriske rækker kan blandt andet bruges til beregning af saldoen på en opsparing
Middelværdi
Når man taler om middelværdi, kan det have to betydninger. Det to betydninger er gennemsnittet og forventningsværdien.

{Skærmbillede_2012-03-28_kl._20.09.46.png}
Vi får altså et resultat, der altid vil give 1.
Geometrisk række
En geometrisk række er defineret som summen af tallene i en geometrisk følge. En geometrisk række har den egenskab, at forholdet mellem et tal i rækken og det foregående tal er ens gennem hele rækken. En geometrisk følge ser således ud:
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._16.59.39.png}
Vi skal vise, at udtrykket for denne sum kan simplificeres til følgende,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._16.59.55.png}
Vi laver et eksperiment, hvor vi har en endelig række af forsøg.
Denne række kalder vi i eksperimentet for r, og vi lader n være 5,
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.00.23.png}
Dette udtryk kan simplificeres ved at gange med (1-r),
{Skærmbillede_2012-03-29_kl._17.00.45.png}
Middelværdi
Når man taler om middelværdi, kan det have to betydninger. Det to betydninger er gennemsnittet og forventningsværdien.